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项名达《勾股六术》虽是在旧术的基本功上稍加
分类:历史名人

项名达(1789—1850)是清朝杰出的数学家,一生致力于数学研究,他在三角函数及函数的幂级数展开式的研究等方面都有突出的贡献。他是中国第一个提出求椭圆周长的正确方法的数学家,他一生著作颇丰,为中国古代数学的发展做出了卓越的成就。

数学在我国古代称为古算。在世界领域内,我国的数学水平也曾占据数一数二的地位。但是时至明代,古算几近成为绝学,卓有成就的数学家也是寥寥无几。 明朝末年,西方传教士将他们的数学理论带人中国,我国也开始历史上第一次西算输入过程。这个过程始于徐光启的数学译著《几何原本》前六卷,止于康熙时编成《数理精蕴》。此后,清朝又掀起了古算复兴的浪潮,此二者共同构成了清朝前期数学发展的两大支柱。 另外,康熙年间的一次历法大辩论,新历派以精确的数学计算方式战胜了旧历派的方法。这次胜利引起了知识界对数学的关注和肯定,同时也引起了朝廷对于数学 的重视。此后不断有外国传教士被清廷聘用,向中国学者讲授有关几何、代数、天文、物理等科学知识,推动了清代数学的蓬勃发展,也培养带动了一批著名的数学 家,弥补了明代在这方面的空白。这里面有方中通、梅文鼎、梅毂成、明安图、王元启、董佑诚、项名达等人,其中以梅文鼎和明安图成就最高。 梅文鼎(1633~1721年,明崇祯六年至清康熙六十年),字定九,号勿庵,安徽宣城人。他将一生的心血倾注在数学和历学研究上,学贯中西。后辈学者尊称他为清代算学第一人。 在梅文鼎看来,法有可采,何论东西;理所当然。何论新旧,所以无论是西算还是古算,只要有可取之处他都潜心研究,收集采纳。西方的数学在清初时刚传 人中国不久,相关书籍和参考资料很少,偶有这方面的论证和图解也不是很容易让人理解。为此,梅文鼎做了大量关于西方数学著作的整理、疏解和阐述工作,语言 往往以平易之居,解极难之法,浅近之言,达至深之理。这种浅显易懂,通俗流畅的译注、整理方式在当时对西方数学理论的传播起到了重要的推动作用。 梅文鼎在三角、几何学领域的造诣很高。三角不是现代意义上的三角形,而是当时一种用于历学钻研的工具,在当时有着不明三角,则历书佳处必不能知,其有 缺处亦不能正矣的说法,但当时教授三角使用方法的书不多,能让人尽快掌握的书更少。梅文鼎的《平三角举要》很好地解决了这个问题。这本书系统地介绍了三 角的定义、定理、解法以及在它实际测量中的应用,语言深入浅出,是当时学习三角的一本很好的方法书。另外,他还在《弧三角举要》、《环中黍尺》这两本书中 对球面三角学作了细致的阐释演绎,创造了球曲三角形的图解法。 他在几何学方面的贡献主要包括以下几个方面: 第一,引用勾股定理解答了《几何原本》前六卷中的诸多未解之题,提出几何不言勾股,其理莫能外。故其最难通者,以勾股释之则明的主张。 第二,在《几何补编》中提出了多种等面体体积的计算方法和原理,这是当时引进的西学中没有的内容。 第三,对理分中末线的作用探索多年,并将自己的研究成果应用到各种多面体体积的测量当中,具有很大的实际效用。 梅文鼎一生著作颇丰,而且著述领域广泛,总共88部。其中有26部关于算学的,62部关于力学的。 梅文鼎的数学成就和他的治学态度有着密切的关系。他的研究态度端正严肃,撰书认真仔细。在搜集材料时,每当得到一本书,都要亲自校对其中的残缺和错误的 地方,并会十分有见地地指正其中的得失。遇到书中有散失遗落的书页一定会尽心搜集,然后做亲笔誊写。有时候一个问题会在不同版本中有不同的说法,这时他会 仔细琢磨、再三推求,常常想一个问题想得废寝忘食。 1705年,康熙南巡时路过梅文鼎的家乡,便一连三天召见他。二人见面就谈论关于数学和历法方面的问题,并亲自提笔写下绩学参微四个大字赐给他。 康熙末年,朝廷编制《数理精蕴》期间,梅文鼎的数学研究成果起到了直接的帮助作用。 《数理精蕴》是一部具有总结性的数学著作,成书于西算输入时期,是当时我国数学百科全书中最高水平的代表。它的编纂由康熙皇帝亲自主持,当年康熙授命梅 文鼎的孙子梅毂成协同陈厚耀、何国宗、明安图等人,在清官潜心研究数理、整理相关研究论著,将明末清初传人我国的多种西算方法、原理以及当时流传下来的有 据可考的古算精华全部收录,并做了系统地分类整理和编排工作。书著成后又以康熙御制的名义在全国颁行,因而流传广泛,影响巨大,是清时研习数学的必读书目 之一。 在编著《数理精蕴》的众多参与者中,明安图(1692~1765年,康熙三十一年至乾隆三十年)也是一位著名的数学家。 明安图是正白旗出身,年幼时曾在钦天监研读诗书、数理,是康熙帝亲自培养出来的数学方面的人才。成年后,参加过《历象考成》、《数理精蕴》等书的编纂工作,数学方面的造诣、成就相当可观。 时值法国传教士杜德美来到中国,并将圆径求周、弧背求通弦、弧背求正矢格里哥里三公式,也就是三角函数展开式和π的无穷级数式的公式,带到 了中国。但是,他并没有对三个公式的解读、运用方法进行介绍和证明,使得这三个公式成了单纯的存在,在中国毫无用武之地。 经过长时间 的刻苦钻研,明安图利用几何连比例的归纳方法,不仅证明了杜德美所介绍的三公式的推理过程,还在这三者的基础上进一步推导出另外六个新公式。这六个公式分 别是弧背求矢、弧背求正弦、通弦求弧背、矢求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背,总称割圆九术。 此外,他撰写的《割圆密率捷法》把三角函数和圆周率的研究水平提高到一个新的阶段。 除了梅文鼎和明安图等著名的数学家外,到19世纪初期,又涌现出像董佑诚、项名达这样优秀的数学家。董佑诚撰写的《割圆连比例图解》,运用迥异于明安图 的方法,同样证明了由西方传人的很多公式。项名达编纂的《象数一原》则承袭发扬了明安图的研究成果,演算出了连比例求椭圆周长的公式,而且演算的整个计算 程序丝毫不违背椭圆积分的法则。 雍正以后,清政府开始限制、禁止外国传教士来中国传播他们的信仰,发展他们的教徒。所以来华的传教士 呈逐渐较少的趋势,输入西学的潮流进程也趋于中断。在这种背景和客观条件的限制下,数学研究的倾向就发生了偏移。接受、演绎西学的潮流渐渐平复,而挖掘和 整理古算的事却引来越来越多的人的关注。在这方面贡献最大的当属戴震。

项名达,原名万准,字步莱,号梅侣。祖籍安徽歙县。他于清乾隆五十四年 出生于浙江省仁和县一个比较重视文化素养的盐商家庭,自幼受到良好教育,广读博览,尤好历算。嘉庆二十一年成举人,考授国子监学正,道光六年成进士。改官知县,但没有去就职。应考进士期间曾在京逗留数年,与友人研讨数学,后返居故乡。道光十七年前,主讲于苕南。此后在杭州紫阳书院执教并研究数学。道光二十六年 冬天退职回家,集中精力撰著书稿。他一生有各种著作几十卷。项名达研究数学相当刻苦,严寒酷暑,废寝忘食。在研究中,他认为最难能可贵的是要有创新精神,他还注重中西方法的比较研究,力求推见本原,加以融会贯通。在平时他还注意广交习算之士,相互切磋砥砺,共同研究数学。在北京项名达曾与著名数学家李锐的弟子黎应南来往较多,互相学习、交流,更多地了解并汲取前人研究的成果。

道光五年 项名达撰成《勾股六术》。该书讨论直角三角形的勾、股、弦各边互求之法,分有术解和图解两大部分。他在对旧术进行比较研究之后,加以变通,将主题相同的,并归为一类,共列出六术,共计正题二十六个,另有附题五十三个。随后,项名达对其所列六术一一作图详释,图解明晰,比例精简。

项名达《勾股六术》虽是在旧术的基础上稍加变通而成,但它使繁杂的三角和较诸术,变得简洁明了,有条不紊,为初学者省去入门前的障碍提供了有利条件。

道光十七年;项名达应聘为苕南书院主讲。苕南书院设在杭州府余杭县城大东门。项名达在主讲苕南书院时,在教学中采取个别钻研,相互问答,集中讲解的方法,同行中如有疑难问题求教,他都耐心地给予解释,直到对方完全明白。在苕南书院,项名达弟子众多,其中他最得意的两名弟子是夏鸾翔和王大有,一个是数学家,一个是天文学家,两人对我国科学事业发展作出了巨大贡献。

到苕南书院后,项名达对三角和较术的研究获得了重大进展。道光二十三年 撰成《三角和较术》一卷,该书凝结了项名达多年的研究成果,内容涉及平三角和较相求、正弦三角和较相求、斜弧三角和较相求等问题,论证极其巧妙。

道光二十五年 项名达与著名数学家戴煦结交,两位数学家一见如故,过往密切,共同研究数学。当年,戴煦写成《对数简法》二卷,项名达随即为之作序,称道戴煦的研究对于对数的旧的计算方法“既揭示了其本质又加以变通”。在戴煦研究的启发下,项名达撰成《开诸乘方捷法》一书。他认为:戴煦能找到开平方的简便算法,开任何高次方也应当找出比较简捷的方法。于是,项名达在《开诸乘方捷法》中立出四术,使开平方乃至开任何高次方有了简捷的方法。项名达与戴煦还共同讨论了求二项式n 次根的简法,在《开诸乘方捷法》中创立了逐次逼近法以及用来开n次方的递推公式。他还提出了幂指数为÷的二项式定理,戴煦后来在此基础上,发现了有理数指数幂二项式定理。《开诸乘方捷法》后又附有开方表,列出了方根一到九的平方,立方以及十二次方的得数。

项名达在苕南书院执教的同时,也开始了其重要著作《象数一原》的撰述,其主要内容是论述三角函数幂级数展开式问题。早年项名达在读明安图《割圆密率捷法》(1774年由陈际新最后成节)、董佑诚《割圆连比例图解》时,认为前者未对方圆率相通之理加以明释,而后者虽立四术,以倍分率、析分率阐明方圆之所以相通,但其中仍有许多问题没有解释清楚,项名达对这些问题一直心存疑问。在去苕南书院的途中,他坐在船上又念及此事,苦思冥想,恍然有得,下船后随及将思考所得记录下来,写成图说二卷,但未及作深入研究,此事便被耽搁下来。

道光二十六年项名达才开始继续撰写《象数一原》,至道光二十八年,粗成六卷,另有《椭圆求周术》附于《象数一原》六卷之后。卷一为整分起度弦矢率论;卷二为半分起度弦矢率论;卷三、卷四为零为起度弦矢率论;卷五为诸术通诠;卷六为诸术明变。在这部著作中,项名达继承和发展了董洁诚的方法,通过科学分析和逻辑推理,把割圆连比例、三角堆及推广的二项式定理系数表联系起来,成功地解决了董佑诚弦矢公式推导中的堆积有倍分无析分,倍分中弦率有奇分无偶分等问题,获得如下结论:

全弧分为n分,不论为奇为偶,它的通弦总可以展开为分弧通弦的幂级数,析分弦矢和倍分弦矢从道理上讲是一致的。他把董佑诚的四术,即求倍分弦、矢,求折析弦、矢概括为二术:

式中设cn和cn分别为圆内某弧的n倍和m倍弧长和分别为相应的中矢,r为圆半径。由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董佑诚的四个公式,其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式,正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率r的无穷级数表达式等。

项名达的另一项成就就是得到求椭圆周长的公式:式中户为椭圆周长,e为椭圆离心率,e’=二了二,d和占分别为椭圆半长轴与半短轴。

这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果,也是中国数学家第一次提出求椭圆周长的正确方法,与近代数学用椭圆积分法所得相同。

项名达还根据椭圆周长公式推出圆周率倒数公式。

项名达在微积分传入中国(1857年李善兰翻译出版《代微积拾阶》) 之前,就以其独到的思维方式,达到了微积分的思想。这说明即使没有西方微积分的传入,中国数学家也能经过自己的努力,使传统数学逐步由初等数学向高等数学转变。

项名达对他所获得的研究成果也极为自赏,可惜此时项名达身体体弱多病,已无力将《象数一原》最后整理定稿。道光二十八年,他嘱好友戴煦代为整理。道光三十年元日(1850年2月12日) 项名达病卒于家中,终年六十二岁。

咸丰七年,戴煦向项名达长子锦标索取《象数一原》遗稿,校算增订,补纂完成,并为《椭圆求周术》作图解,列为第七卷。全书及图解共二万五千余字,附图大小共十一幅。定稿之后,由当时任江苏巡抚的数学家徐有壬在苏州刊刻付梓,未及印行,徐有壬兵败身亡。《象数一原》后有1888年刻本传世。

项名达其他数学著作曾校刻付梓,咸丰十年春太平军攻克杭州时,他的旧居遇火焚毁,旧稿也未能幸存。他的数学著作虽也历经磨难,但总算幸运。这年秋天,他的侄子薇桓携带他所藏遗书浮海东渡,并于光绪十二年 将项名达所著《勾股六术》、《三角和较术》、《开诸乘方捷术》重刻复印。它们合刻为《下学庵算术》印行。

项名达在哲学思想上崇尚陆王心学,主静,甘愿淡泊,提倡致良知。他一生淡于功名利禄,乐于教授生徒,尤其醉心于数学研究。在数学思想上,他主张中西术相结合,提倡创新精神。项名达是一位学识渊博的学者,很受当时学术界、特别是数学界的敬重,晚清时期最负盛名的数学家李善兰、华蘅芳等都对项名达的工作和著作给予了高度的评价。

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